解四次方程 u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先假设它能拆成两个二次式。 与一个根一个根地去试相比，不如假设这个四次式能分解成两个首项系数为 1 的整系数二次式：

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 + au + b\right)\left(u^2 + cu + d\right)$

   之所以值得先试这条路，是因为一旦拆分成功，四个根就一次全都到手了。

2. 2

   展开并比较系数。 把右边乘开：

   $u^4 + (a+c)u^3 + (ac+b+d)u^2 + (ad+bc)u + bd$

   于是四个未知数满足

   $a + c = -6, \quad ac + b + d = 8, \quad ad + bc = 6, \quad bd = -9$

3. 3

   在小整数范围内搜索 b 和 d。 由 $bd = -9$，候选的数对是 $(\pm1, \mp9)$、$(\pm3, \mp3)$、$(\pm9, \mp1)$。试 $b = -1$、$d = 9$，第二个方程立刻塌缩：

   $ac - 1 + 9 = 8 \quad \Longrightarrow \quad ac = 0$

   于是 $a, c$ 中有一个为零 —— 这是一个很大的简化，也正是应该先试这一对的理由。

4. 4

   把系数解完，并核对全部四个方程。 由 $ac = 0$ 取 $a = 0$，于是 $c = -6$。这样

   $ad + bc = 0 \cdot 9 + (-1)(-6) = 6 \ \checkmark$

   四个条件全部满足，所以

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 - 1\right)\left(u^2 - 6u + 9\right)$

   再乘开回去得到 $u^4 - 6u^3 + 9u^2 - u^2 + 6u - 9$，正是原来的多项式。

5. 5

   把每个二次式彻底分解。 一个是平方差，另一个是完全平方：

   $u^2 - 1 = (u-1)(u+1), \qquad u^2 - 6u + 9 = (u-3)^2$

   $\Longrightarrow \quad (u-1)(u+1)(u-3)^2 = 0$

6. 6

   读出各个根及其重数。

   $u = 1, \qquad u = -1, \qquad u = 3 \ \text{（二重根）}$

   逐个代入都能验证：$u=1$ 时 $1-6+8+6-9=0$，$u=-1$ 时 $1+6+8-6-9=0$，$u=3$ 时 $81-162+72+18-9=0$。因为 $u = 3$ 的重数是二，图像在那里与 $u$ 轴相切而不穿过；四个根按重数计的和为 $1 - 1 + 3 + 3 = 6$，与 $-(-6)/1$ 一致。