展开 x² + 8x + 16 与 x² − 4x + 4 的乘积。

Step-by-step solution

1. 1

   先认出两个三项式都是完全平方。 对照 $a^2\pm 2ab+b^2$ 的形式：

   $x^2+8x+16=(x+4)^2,\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2$

   中间项的系数正好印证：$2\cdot 4=8$，$2\cdot 2=4$。这样就不必一项一项去乘那九个部分积了。

2. 2

   把两个平方并成一个。 因为 $u^2v^2=(uv)^2$，

   $(x+4)^2(x-2)^2=\bigl[(x+4)(x-2)\bigr]^2$

   这就是全部窍门：先把两个一次因式乘起来，然后只平方一次。

3. 3

   把两个二项式乘开。

   $(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8$

   于是问题化成给三项式 $x^2+2x-8$ 平方。

4. 4

   用三项和的平方公式。 取 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，其中 $a=x^2$、$b=2x$、$c=-8$：

   $a^2=x^4,\ b^2=4x^2,\ c^2=64,\ 2ab=4x^3,\ 2ac=-16x^2,\ 2bc=-32x$

5. 5

   合并同类项。 两个 $x^2$ 项合到一起：

   $x^4+4x^3+(4-16)x^2-32x+64=x^4+4x^3-12x^2-32x+64$

6. 6

   在 $x=1$ 和 $x=-4$ 处检验。 当 $x=1$，原式是 $(1+8+16)(1-4+4)=25\cdot 1=25$，展开式给出 $1+4-12-32+64=25$。当 $x=-4$，原式是 $0$（因为 $(x+4)^2$ 为零），展开式给出 $256-256-192+128+64=0$。两处都对得上。