求 x⁴ − 16 = 0 的所有根，包括实根和复根。

Step-by-step solution

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   先看出这是平方差。 换个角度看，两项都是完全平方：

   $x^{4}=(x^{2})^{2},\qquad 16=4^{2},$

   所以恒等式 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ 在 $a=x^{2}$、$b=4$ 时适用：

   $x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).$

   因式分解比直接开四次方更好，因为它能把每个根都显出来，复根也不漏。

2. 2

   能继续分解的再分解一次。 第一个括号又是一个平方差：

   $x^{2}-4=(x-2)(x+2),$

   而 $x^{2}+4$ 是平方和，在实数范围内不能分解。所以在实数范围内的完整分解是

   $x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).$

3. 3

   对一次因式用乘积为零的性质。 乘积为零，当且仅当某个因式为零：

   $x-2=0\Rightarrow x=2,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2.$

   这就是全部两个实根 —— 本来也该如此，因为 $x^{4}=16$ 恰有两个实数解 $\pm\sqrt[4]{16}=\pm 2$。

4. 4

   在复数范围内处理剩下的二次式。 令 $x^{2}+4=0$ 得 $x^{2}=-4$，它没有实数解，但有两个纯虚数解：

   $x=\pm 2i.$

   所以在 $\mathbb{C}$ 上完整的分解是 $(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$，这个 $4$ 次多项式恰好有 $4$ 个根，正是代数基本定理所要求的。

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   逐个验证。 $2^{4}=16$ ✓，$(-2)^{4}=16$ ✓。对那对虚根，$(2i)^{4}=2^{4}i^{4}=16\cdot 1=16$ ✓，同理 $(-2i)^{4}=16$ ✓。四个根都落在复平面上半径为 $2$ 的圆上，两两相隔 $90^{\circ}$ 均匀分布 —— 这正是一个正实数的四次方根该有的标准图像。