y = 2x² − 21x + 64 与 y = 3x + a（a 为常数）的图像恰好交于一点 (x, y)，求 x 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   令两个 $y$ 的表达式相等。 在交点处，同一个 $x$ 对应的 $y$ 必须相同：

   $2x^2 - 21x + 64 = 3x + a$

2. 2

   把所有项移到一边。 两边减去 $3x + a$：

   $2x^2 - 24x + (64 - a) = 0$

   这是一个关于 $x$ 的二次方程，常数项里还带着未知的 $a$。

3. 3

   把「恰好一个交点」翻译成判别式条件。 二次方程恰有一个（重）根，当且仅当判别式为零。取 $A = 2$、$B = -24$、$C = 64 - a$：

   $B^2 - 4AC = (-24)^2 - 4(2)(64-a) = 576 - 512 + 8a = 8a + 64 = 0$

4. 4

   直接从重根读出 $x$——这才是捷径。 其实根本不需要求出 $a$。判别式为零时，那个二重根就是 $x = -\dfrac{B}{2A}$，也就是抛物线 $2x^2-24x+(64-a)$ 的顶点横坐标：

   $x = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

5. 5

   顺手把 $a$ 也求出来印证一下。 由 $8a + 64 = 0$ 得 $a = -8$，于是二次方程是 $2x^2 - 24x + 72 = 2(x-6)^2 = 0$，二重根正是 $x = 6$ ✓。

6. 6

   验证这个点确实同时在两条图像上。 抛物线：$2(36) - 21(6) + 64 = 72 - 126 + 64 = 10$。直线：$3(6) + (-8) = 10$ ✓。唯一的交点是 $(6, 10)$，所以 $x = 6$。