描述并画出同时满足 x + y <= 6 与 x >= 2 的点构成的区域。

Step-by-step solution

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   把两个不等式当作一个方程组看待。 一个点属于解集，当且仅当它同时满足两个不等式，所以答案是两个半平面的交集，而不是并集：

   $\begin{cases}x+y\le 6\\ x\ge 2\end{cases}$

2. 2

   把第一个不等式化成斜截式。 两边同减 $x$：

   $y\le 6-x$

   边界线 $y=6-x$ 的斜率为 $-1$，过 $(0,6)$ 与 $(6,0)$；因为是 $\le$，所以画成实线。把这条线上及其下方的部分全部涂上阴影。

3. 3

   解读第二个不等式。 $x\ge 2$ 的边界是竖直直线 $x=2$，同样画实线，把这条线上及其右侧的部分涂上阴影。注意这里根本没有出现 $y$，所以这个限制在任何高度上都是一样的。

4. 4

   找出顶点。 两条边界相交于 $x=2$ 且 $y=6-x$ 处，即

   $(2,\,4)$

   这是该区域唯一的顶点；因为两条边界都取到，所以它属于解集。

5. 5

   确认这个区域是无界的。 从 $(2,4)$ 出发，区域向右下方无限延展：例如 $(100,-1000)$ 满足 $x\ge 2$，且 $x+y=-900\le 6$。所以这是一个无限的角形区域，而不是三角形 —— 没有第三条边界把它封闭起来。

6. 6

   写出这个区域。 取 $(3,0)$ 检验：$3\ge 2$ $\checkmark$，且 $3+0=3\le 6$ $\checkmark$，所以它在区域内部。解集为

   $\{(x,y): x\ge 2\ \text{且}\ y\le 6-x\}$