把多项式 x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 彻底分解因式。

Step-by-step solution

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   注意系数是回文的。 $1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1$ 正着读和倒着读一模一样。回文型的四次式常常是某个回文二次式的平方，所以不妨先试 $\left(x^2 + bx + c\right)^2$。

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   比较系数。 把试探的平方式展开：

   $\left(x^2 + bx + c\right)^2 = x^4 + 2bx^3 + \left(b^2 + 2c\right)x^2 + 2bc\,x + c^2$

   与目标式逐项对比：$2b = 2$ 给出 $b = 1$；由 $c^2 = 1$ 再配合 $x$ 项系数 $2bc = 2$ 可定出 $c = 1$；最后核对 $x^2$ 项，$b^2 + 2c = 1 + 2 = 3$。每个系数都对得上。

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   写出分解式。

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x^2 + x + 1\right)^2$

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   说明在实数范围内已经分解彻底。 里面那个二次式的判别式是 $1 - 4 = -3 < 0$，所以它在 $\mathbb{R}$ 上不可约，而且恒不为零。配方得 $x^2 + x + 1 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 \ge \tfrac34$，于是这个四次式的下界是 $\left(\tfrac34\right)^2 = \tfrac{9}{16}$，根本没有实根。

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   顺带看看复数范围内的分解。 在 $\mathbb{C}$ 上，$x^2 + x + 1$ 的根是本原三次单位根 $\omega = \tfrac{-1 \pm i\sqrt3}{2}$，每一个都是这个四次式的二重根：

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x - \omega\right)^2\left(x - \bar\omega\right)^2$

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   代数值检验。 取 $x = 2$：四次式给出 $16 + 16 + 12 + 4 + 1 = 49$，而 $\left(4 + 2 + 1\right)^2 = 7^2 = 49$。取 $x = -1.7$ 时两种写法都得到 $4.7961$。