用 2x + 1 去除 2x³ + x² − 4x − 2。

Step-by-step solution

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   先把长除法摆好。 两个多项式都按降幂排列，而且没有缺项，所以不用补零占位。用首项去除首项：

   $\frac{2x^{3}}{2x}=x^{2}.$

   注意这里用综合除法会很别扭，因为除式的首项系数不是 $1$；普通长除法则不需要任何缩放，直接就能处理那个 $2$。

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   乘回去再相减。 用除式乘上商的第一项：

   $x^{2}(2x+1)=2x^{3}+x^{2},$

   相减之后前两项什么都不剩：

   $\left(2x^{3}+x^{2}\right)-\left(2x^{3}+x^{2}\right)=0.$

   把剩下的项落下来，新的被除式就是 $-4x-2$。

3. 3

   对余下的部分再来一遍。 又是首项相除：

   $\frac{-4x}{2x}=-2,\qquad -2(2x+1)=-4x-2,$

   相减得 $0$。除法到此终止，余数为零，说明 $2x+1$ 确实是一个因式。

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   用分组分解确认一遍。 同样的结果压根不用做除法就能得到：

   $2x^{3}+x^{2}-4x-2=x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right).$

   只要看出前两项和后两项里各藏着一个 $2x+1$ 就行——三次式一旦有这种成对结构，分组比长除法快得多。

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   写出答案并检验。 商是

   $\frac{2x^{3}+x^{2}-4x-2}{2x+1}=x^{2}-2,\qquad x\neq-\tfrac12.$

   顺带一提，完整的因式分解是 $(2x+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$，所以三个根是 $-\tfrac12$ 与 $\pm\sqrt2$。取 $x=2.3$ 做数值检验：商给出 $3.29$，原式的比值也是 $3.29$ ✓。