化简 (∛a + ∛b) 除以 (2 + a/b 的立方根 + b/a 的立方根)。

Step-by-step solution

1. 1

   先换元，把根号藏起来。 令

   $x=\sqrt[3]{a},\qquad y=\sqrt[3]{b},$

   于是 $\sqrt[3]{a/b}=x/y$、$\sqrt[3]{b/a}=y/x$。表达式便成为 $x$、$y$ 的纯有理式：

   $\frac{x+y}{2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}.$

   这个换元正是整道题的题眼：几个看上去彼此无关的立方根，其实不过是 $x$ 和 $y$。

2. 2

   把分母通分到 $xy$ 之上。

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{2xy+x^{2}+y^{2}}{xy}.$

3. 3

   认出这个分数的分子是个完全平方。 由于 $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$，

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{(x+y)^{2}}{xy}.$

   原式分子上那个 $x+y$，如今以平方的形式出现在了下面——正是这一点让约分成为可能。

4. 4

   除以一个分数，就是乘它的倒数。

   $\frac{x+y}{\dfrac{(x+y)^{2}}{xy}}=(x+y)\cdot\frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{xy}{x+y}.$

5. 5

   换回原变量并检验。 由 $xy=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$ 与 $x+y=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$，得

   $\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}},$

   只要 $a\ne0$、$b\ne0$ 且 $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\ne0$ 就成立。取 $a=8$、$b=27$ 检验：$x=2$、$y=3$，原式分母是 $2+\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{25}{6}$，分子是 $5$，商为 $6/5$；而公式给出 $xy/(x+y)=6/5$，同样吻合。