用立方和或立方差公式分解因式：125x³ − 64。

Step-by-step solution

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   先确认两项确实都是立方。 $125=5^{3}$，而 $x^{3}$ 本身就是立方，所以 $125x^{3}=(5x)^{3}$；又 $64=4^{3}$。两项之间是减号，因此适用立方差公式。

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   写出公式。 $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$ 其中 $a=5x$，$b=4$。注意二次因式中间那一项是 $+$，与一次因式里的符号正好相反。

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   写出一次因式。 $a-b=5x-4 .$

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   写出二次因式。 $a^{2}=(5x)^{2}=25x^{2},\qquad ab=(5x)(4)=20x,\qquad b^{2}=4^{2}=16,$ 所以第二个因式是 $25x^{2}+20x+16$。它的判别式为 $400-1600=-1200<0$，因此在实数范围内不能再分解。

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   写出结果并验证。 $125x^{3}-64=(5x-4)\left(25x^{2}+20x+16\right).$ 展开看看：$5x\cdot 25x^{2}=125x^{3}$，其余各项两两相消，只剩下 $-4\cdot 16=-64$。