已知两个有限等差数列：2, 5, 8, 11, … 直到第 1000 项，以及 −1, 6, 13, 20, … 直到第 1000 项。两个数列中一共有多少个数是相同的？

Step-by-step solution

1. 1

   用同余式描述每一个数列。 $(a_n)$ 的公差 $d=3$、首项是 $2$，所以它的项恰好是所在范围内满足 $x\equiv 2\pmod 3$ 的那些整数。$(b_n)$ 的公差 $d=7$、首项是 $-1$，所以它的项是满足 $x\equiv -1\equiv 6\pmod 7$ 的那些整数。

2. 2

   分别求出末项。 $a_{1000}=2+999\cdot 3=2999,\qquad b_{1000}=-1+999\cdot 7=6992$ 因此公共项只可能落在较短的那个范围 $[2,\;2999]$ 之内。

3. 3

   联立这一对同余式。 我们要找的是同时满足 $x\equiv 2\pmod 3$ 和 $x\equiv 6\pmod 7$ 的数。把 $x=6,13,20$ 依次代进第一个同余式，$20=3\cdot 6+2$ 成立，于是由中国剩余定理 $x\equiv 20\pmod{21}$（模数是 $\operatorname{lcm}(3,7)=21$）。

4. 4

   数出范围内有多少个解。 公共项是 $20,41,62,\dots\le 2999$，构成一个公差为 $21$ 的等差数列： $\left\lfloor\frac{2999-20}{21}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{2979}{21}\right\rfloor+1=141+1=142$

5. 5

   确认并作答。 把两个 1000 项的集合都显式构造出来再求交集，得到的同样是 $142$ 个元素，所以答案选 C。