求方程 x² − 15 = (x + 15)² 的根。

Step-by-step solution

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   先把右边展开。

   $(x+15)^2 = x^2 + 30x + 225$

   于是方程写成 $x^2 - 15 = x^2 + 30x + 225$。

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   把二次项消掉。 两边各带一个 $x^2$，同时减去 $x^2$ 就把它整个去掉了：

   $-15 = 30x + 225$

   所以这个方程其实是一次的，只有一个根 —— 尽管两边都带平方，看着像会有两个。

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   解出 x。

   $30x = -15 - 225 = -240 \quad\Longrightarrow\quad x = -8$

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   代入检验。 左边：$(-8)^2 - 15 = 64 - 15 = 49$。右边：$(-8 + 15)^2 = 7^2 = 49$。两边都是 $49$。

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   从几何角度理解。 这个方程问的是：抛物线 $y = x^2$ 向下平移 $15$ 后，与同一条抛物线向左平移 $15$ 后的图像在哪里相交。两条只差一次平移的全等抛物线恰好交于一点 —— 这里是 $(-8, 49)$ —— 这正是只有一个根的结构性原因。