化简 2 − (a − b)/(a + b) × (3 − (a + 2b)/(a + b))⁻¹ × (2a + b) − 3b。

Step-by-step solution

1. 1

   从里向外做。 那个 $-1$ 次幂作用在整个括号上，所以必须先把这个括号化成一个分式，才能取倒数。在这件事做完之前，别的什么都简化不了。

   $3-\frac{a+2b}{a+b}=\frac{3(a+b)-(a+2b)}{a+b}$

2. 2

   展开内层括号的分子。

   $3(a+b)-(a+2b)=3a+3b-a-2b=2a+b$

   于是这个括号等于 $\dfrac{2a+b}{a+b}$。$2a+b$ 在这里冒出来——正是乘在整项外面的那个因式——就是「马上要全约掉了」的信号。

3. 3

   把括号取倒数。 分式上的 $-1$ 次幂就是把分子和分母互换：

   $\left(\frac{2a+b}{a+b}\right)^{-1}=\frac{a+b}{2a+b}$

4. 4

   把整个乘积约掉。

   $\frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2a+b}\cdot(2a+b)=a-b$

   $a+b$ 和 $2a+b$ 都被彻底约掉，于是一个三因子的乘积塌缩成单个二项式 $a-b$。

5. 5

   把外层的加减算完。

   $2-(a-b)-3b=2-a+b-3b=2-a-2b$

   括号前面的减号会把括号里两项的符号都翻过来——这是最后一个可能出错的地方。

6. 6

   数值验证。 在 $(a,b)=(3,5)$ 处原式算得 $-11$，而 $2-a-2b=2-3-10=-11$ ✓。在 $(a,b)=(2.2,-1.7)$ 处两者都得 $3.2$ ✓（这组值是合法的，因为 $a+b\neq0$ 且 $2a+b\neq0$）。