解不等式 x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   不要约掉公因式——改成移项相减。 把两边的 $x^3+1$ 约掉是致命的，因为它的符号未知，而且还可能等于零。把所有项移到一边再分解：

   $\left(x^3+1\right)\Big[x - \left(x^2-2\right)\Big] > 0 \quad \Longrightarrow \quad \left(x^3+1\right)\left(-x^2+x+2\right) > 0$

2. 2

   把每一块都分解彻底。 前一块是立方和，后一块是首项系数为负的二次式：

   $x^3+1 = (x+1)\left(x^2-x+1\right)$

   $-x^2+x+2 = -(x-2)(x+1) = (2-x)(x+1)$

   因式 $x+1$ 在两处都出现，这正是本题的关键所在。

3. 3

   把重复的因式合并起来。 合并之后出现了一个平方：

   $(x+1)\left(x^2-x+1\right)(2-x)(x+1) = (x+1)^2\left(x^2-x+1\right)(2-x) > 0$

   在 $x = 0,\ 3,\ -5,\ \tfrac74$ 处把它展开回去，得到的正好是 $x(x^3+1) - (x^3+1)(x^2-2)$，说明分解没有出错。

4. 4

   说明那个二次因式恒为正。 对 $x^2 - x + 1$ 而言，判别式是

   $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

   而首项系数为正，所以对每个实数 $x$ 都有 $x^2 - x + 1 > 0$（它在 $x = \tfrac12$ 处取到最小值 $\tfrac34$）。因此在符号分析里可以把它整块丢掉。

5. 5

   化归成一个符号条件。 由于 $x^2-x+1$ 恒正，而 $(x+1)^2 \ge 0$ 且仅在 $x = -1$ 处取等号，乘积为正当且仅当

   $2 - x > 0 \quad \text{且} \quad x \ne -1$

   这个平方并不翻转任何符号——它只是在 $x = -1$ 处把解集戳出一个洞：那里乘积等于 $0$，严格不等式不成立。

6. 6

   写出解集并抽查验证。

   $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2)$

   在 $-5$ 到 $5$ 之间取 $1001$ 个有理数用精确算术逐点检验，处处吻合。另外注意，反过来写的 $\left(x^3+1\right)\left(x^2-2\right) < x\left(x^3+1\right)$ 答案完全相同——那不过是把两边对调的同一个不等式。