在整数范围内把 x⁴ + x³ + 2x² - x + 3 分解因式（分解到不能再分为止）。

Step-by-step solution

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   先排除一次因式。 由有理根定理，任何有理根都要整除 $3$，所以候选只有 $\pm1,\pm3$。逐个试：$f(1)=1+1+2-1+3=6$，$f(-1)=1-1+2+1+3=6$，$f(3)=81+27+18-3+3=126$，$f(-3)=81-27+18+3+3=78$。都不为零，说明没有一次因式，于是在整数范围内唯一可能的分解就是拆成两个二次式。

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   写出待定系数的模板。 由于最高次项系数是 $1$，两个二次式都可以取成首一的：

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$

   展开后得到 $x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$。

3. 3

   对应系数，得到四个方程。

   $a+c=1,\qquad ac+b+d=2,\qquad ad+bc=-1,\qquad bd=3$

   常数项方程 $bd=3$ 的可能性最少，所以就从它入手搜索：$(b,d)\in\{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}$。

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   试 (b, d) = (1, 3)。 此时 $ac+4=2$，即 $ac=-2$，再结合 $a+c=1$，可知 $\{a,c\}$ 是 $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$ 的根，即 $\{2,-1\}$。检验一次项系数：$ad+bc=2(3)+1(-1)=5\neq-1$。若换成 $a=-1,c=2$，得 $-3+2=-1$……但那不过是重新标号，等同于下面 $(b,d)=(3,1)$ 的情形。按照这里给定的顺序，这一种情况不成立。

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   试 (b, d) = (3, 1)。 同样有 $ac+4=2$，即 $ac=-2$，$\{a,c\}=\{2,-1\}$。这次 $ad+bc=2(1)+3(-1)=2-3=-1$ ✓——取 $a=2,\ b=3,\ c=-1,\ d=1$，四个方程全部满足。

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   写出分解结果，并确认已经分解彻底。

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+3)(x^2-x+1)$

   两个因式在实数范围内都不能再分：它们的判别式分别是 $2^2-4(1)(3)=-8$ 和 $(-1)^2-4(1)(1)=-3$，都是负的，所以这个四次式根本没有实根。

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   乘回去验证。 $(x^2+2x+3)(x^2-x+1)=x^4-x^3+x^2+2x^3-2x^2+2x+3x^2-3x+3=x^4+x^3+2x^2-x+3$ ✓，每一项系数都对得上。