函数 f(x) = |x + 2| − 1 先关于 x 轴翻折，再向下平移 2 个单位。写出新函数的解析式。

Step-by-step solution

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   先认清出发时的图象。 $f(x)=|x+2|-1$ 是一个开口向上的 V 形，顶点在 $(-2,-1)$：因为 $|x+2|=|x-(-2)|$ 给出 $h=-2$，末尾的 $-1$ 给出 $k=-1$。

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   关于 $x$ 轴翻折，就是把整个输出取相反数。 这一步是最容易栽跟头的地方：负号必须作用在整个函数上，常数项也包括在内，而不是只管绝对值那一项：

   $-f(x)=-\left(|x+2|-1\right)=-|x+2|+1$

   在这一步就写成 $-|x+2|-1$ 正是那个经典错误——翻折之下 $-1$ 会变成 $+1$，因为点 $(-2,-1)$ 会翻到 $(-2,1)$。

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   向下平移 2 个单位，也就是减去 2。

   $-|x+2|+1-2=-|x+2|-1$

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   写出结果及其特征。

   $f(x)=-|x+2|-1,\qquad \text{顶点 }(-2,-1),\ \text{开口向下}$

   顶点回到了原来的坐标，这纯属巧合——翻折把它从 $-1$ 抬到 $+1$，平移又把它压回去 $2$——但图象确实变了，现在是一个倒过来的 V。

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   取点核对。 原图上的 $(0,f(0))=(0,1)$；翻折后成为 $(0,-1)$，再下移 $2$ 就是 $(0,-3)$。用最终解析式算：$-|0+2|-1=-2-1=-3\;\checkmark$。原顶点 $(-2,-1)\to(-2,1)\to(-2,-1)$，解析式给出 $-|{-2}+2|-1=-1\;\checkmark$。由于最大值是 $-1$，图象永远碰不到 $x$ 轴。