解不等式 2 < |x + 1| ≤ 3。

Step-by-step solution

1. 1

   把连写的不等式拆成两个条件。 夹在中间的绝对值不等式，本质上是一个交集：

   $|x+1|>2\qquad\textbf{且}\qquad |x+1|\le3$

   这两者的行为正好相反 —— 「大于」向外张开，「小于」向内收拢 —— 所以必须分别解，再取交集。

2. 2

   先解「大于」那一半。 当 $c>0$ 时，$|A|>c$ 意味着 $A>c$ 或 $A<-c$：

   $x+1>2\ \text{或}\ x+1<-2\qquad\Longrightarrow\qquad x>1\ \text{或}\ x<-3$

   这是两条射线的并集 —— 也就是离 $-1$ 较远的那些点。

3. 3

   再解「不超过」那一半。 $|A|\le c$ 意味着 $-c\le A\le c$：

   $-3\le x+1\le3\qquad\Longrightarrow\qquad -4\le x\le2$

   这是一条完整的区间带 —— 离 $-1$ 较近的那些点。

4. 4

   逐块取交集。 拿每条射线去和这条带子相交：

   • $x>1$ 与 $-4\le x\le2$ 交出 $1<x\le2$
   • $x<-3$ 与 $-4\le x\le2$ 交出 $-4\le x<-3$
5. 5

   从距离的角度读这个答案。 $|x+1|$ 就是 $x$ 到 $-1$ 的距离，所以这个不等式要找的是距离大于 $2$ 而至多为 $3$ 的点 —— 相当于数轴上的一个圆环。两侧各贡献一段长度为 $1$ 的区间：

   $[-4,-3)\cup(1,2]$

   注意括号的搭配：外端是闭的（来自 $\le3$），内端是开的（来自严格的 $>2$）。

6. 6

   扫描式验证。 在 $[-6,6]$ 上取 $12{,}001$ 个精确有理数点测试，$2<|x+1|\le3$ 恰好在 $[-4,-3)\cup(1,2]$ 的点上成立，别处都不成立 ✓。端点单独检查：$x=-4$ 时 $|x+1|=3$ ✓，应当包含；$x=-3$ 时 $|x+1|=2$ ✗，必须排除。