不等式 (x² − 16)/(1 + 4x − 5x²) ≥ 0 有多少个整数解？

Step-by-step solution

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   先把分子和分母都因式分解。 分子是平方差：$x^2-16=(x-4)(x+4)$。分母先把负号提出来：$1+4x-5x^2=-(5x^2-4x-1)=-(5x+1)(x-1)$。

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   把提出来的负号挪到整个分式外面。 不等式变成 $\frac{(x-4)(x+4)}{-(5x+1)(x-1)}\ge 0$，也就是 $\frac{(x-4)(x+4)}{(5x+1)(x-1)}\le 0$。这一步不等号翻向，正是大多数人做错的地方。

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   列出临界值和必须排除的点。 分子在 $x=\pm4$ 处为零（不等式带等号，这两个点可以取到）；分母在 $x=-\frac15$ 和 $x=1$ 处为零（必须排除）。按从小到大排，分界点依次是 $-4,\ -\frac15,\ 1,\ 4$。

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   列出符号表。 每个区间取一个点代进去试：$x=-5$ 时商为正，在 $(-4,-\frac15)$ 上为负，在 $(-\frac15,1)$ 上为正，在 $(1,4)$ 上为负，$x>4$ 时又为正。所以 $\le 0$ 成立的范围是 $[-4,-\frac15)\cup(1,4]$。

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   把这些区间里的整数挑出来。 从 $[-4,-\frac15)$ 中取到 $-4,-3,-2,-1$；从 $(1,4]$ 中取到 $2,3,4$。注意 $x=1$ 和 $x=-\frac15$ 已被排除，而 $x=0$ 落在商为正的区间里，两者都不算。

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   数一数，再抽查几个值。 一共 $4+3=7$ 个整数。把 $x=-1$ 代回原式：$\frac{1-16}{1-4-5}=\frac{-15}{-8}=1.875\ge 0$；$x=2$：$\frac{4-16}{1+8-20}=\frac{-12}{-11}\approx 1.09\ge 0$；$x=5$：$\frac{9}{-104}<0$，确实应当排除。