求方程 (x − 4) 的平方 等于 (3 − x) 的平方 的根。

Step-by-step solution

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   用「平方相等」法则，而不是硬展开。 对实数来说，

   $A^2=B^2\iff A=B\ \text{或}\ A=-B$

   两支都必须考察；只取 $A=B$ 是丢根的经典做法。

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   第一支：$x-4=3-x$。

   $x+x=3+4$

   $2x=7\ \Longrightarrow\ x=\frac{7}{2}$

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   第二支：$x-4=-(3-x)$。 把负号分配进去：

   $x-4=-3+x$

   两边减去 $x$ 后剩下

   $-4=-3$

   这对任何 $x$ 都是假的。所以这一支不提供解 —— 从几何上看，$y=x-4$ 和 $y=x-3$ 是两条永不相交的平行线。

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   用展开这条路再确认一遍。 两边展开得

   $x^2-8x+16=9-6x+x^2$

   $x^2$ 项抵消，剩下一次方程 $-8x+16=9-6x$，即 $7=2x$，所以 $x=\tfrac72$ —— 同样是这唯一一个根。$x^2$ 抵消掉这件事，恰恰解释了为什么第二支是空的。

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   检验答案。 取 $x=\tfrac72$：

   $\left(\tfrac72-4\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   $\left(3-\tfrac72\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   两边都等于 $\tfrac14$，所以 $x=\tfrac72$ 是唯一的根。