化简两个各含 20 项的展开式之差，其中每一个都是关于 y 的完全立方。

Step-by-step solution

1. 1

   别展开 —— 要认出结构。 每一块都有二十项，而且每一项在字母 $a,b,c,d,e$ 连同 $y$ 上的总次数都是 $3$。这种整齐的次数，加上通篇出现的系数 $1,3,3,1$ 与 $6$，正是三项式立方 $(p+q+r)^{3}$ 的指纹。乘开来逐项比对要写好几页，而认出这个模式只需要看一眼。

2. 2

   给这两个立方命名。 第一块恰好是

   $A^{3},\qquad A=(a-e)y-ad+be$

   第二块把其中的 $e$ 通篇换成 $c$，即

   $B^{3},\qquad B=(a-c)y-ad+bc$

   这两个恒等式在 $400$ 组元素取自 $[-4,4]$ 的随机整数六元组上都验证通过 ✓。

3. 3

   套用立方差公式。

   $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right)$

4. 4

   化简 $A-B$ —— 整道题就在这里塌缩。 两个 $-ad$ 直接相消：

   $A-B=(a-e)y-(a-c)y+be-bc=(c-e)y+b(e-c)=(c-e)(y-b)$

   从两部分里同时提出 $(c-e)$ 是关键一步，它把一个杂乱的减法变成了两个二项式的干净乘积 ✓。

5. 5

   写出因式分解后的答案。

   $(c-e)(y-b)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right),\qquad A=(a-e)y-ad+be,\ B=(a-c)y-ad+bc$

   在全部 $400$ 个随机测试点上与完整的四十项展开式对照验证通过 ✓。

6. 6

   顺手读出几条直接推论。 只要 $c=e$（两块变得完全相同）或者 $y=b$，整个式子就为零。它关于 $c$ 与 $e$ 还是反对称的：交换二者会使结果变号，这正是因式 $(c-e)$ 所预示的。这种对称性是对整个计算的一个有用的独立检验。