计算并化简 x/(x − 8) + (x − 8)/x。

Step-by-step solution

1. 1

   先确定公分母和取值范围。 分母 $x-8$ 与 $x$ 没有公因式，所以最简公分母就是它们的乘积：

   $x(x-8),\qquad x\neq 0,\ x\neq 8$

2. 2

   把两个分式都化到这个分母上。 第一个乘 $\tfrac{x}{x}$，第二个乘 $\tfrac{x-8}{x-8}$：

   $\frac{x}{x-8}=\frac{x^2}{x(x-8)},\qquad\frac{x-8}{x}=\frac{(x-8)^2}{x(x-8)}$

3. 3

   把分子相加。

   $\frac{x^2+(x-8)^2}{x(x-8)}$

4. 4

   展开并化简分子。 $(x-8)^2=x^2-16x+64$，所以

   $x^2+x^2-16x+64=2x^2-16x+64=2\left(x^2-8x+32\right)$

5. 5

   检查还能不能约分。 括号里的 $x^2-8x+32$ 判别式为 $64-128=-64<0$，所以它没有实系数一次因式，特别地与 $x$ 和 $x-8$ 都没有公因式。因此这个式子已经是最简形式：

   $\frac{2\left(x^2-8x+32\right)}{x(x-8)}$

   在 $x=4$ 处数值检验：左边 $=\tfrac{4}{-4}+\tfrac{-4}{4}=-2$；右边 $=\tfrac{2(16-32+32)}{4(-4)}=\tfrac{32}{-16}=-2$ $\checkmark$。