设 a 和 b 为正实数，m = a^3 + b^3，n = a^2b + ab^2，比较 m 与 n 的大小。

Step-by-step solution

1. 1

   用作差法比较，而不是作商。 比较两个式子的大小，可靠的做法是研究 $m-n$ 的符号：若 $m-n>0$ 则 $m>n$，若 $m-n=0$ 则两者相等，若 $m-n<0$ 则 $m<n$。这里因为 $a,b>0$，作商法也能用，但作差能让式子始终保持多项式形式，便于因式分解。

2. 2

   作差并两两分组。

   $m-n=a^3+b^3-a^2b-ab^2$

   把立方项与含同一字母的交叉项配成一组：

   $m-n=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

3. 3

   提取公因式 $(a-b)$。 由于 $b-a=-(a-b)$，

   $m-n=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)$

   又 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，所以

   $\boxed{m-n=(a+b)(a-b)^2}$

   这个分解形式就是整道题的解法核心：它把大小比较变成了看符号。

4. 4

   直接读出符号。 因为 $a>0$、$b>0$，所以 $a+b>0$；而对任意实数都有 $(a-b)^2\ge 0$。正数乘非负数仍是非负数，于是

   $m-n\ge 0\qquad\Longrightarrow\qquad m\ge n$

5. 5

   确定取等号的条件。 乘积 $(a+b)(a-b)^2$ 为零，只可能是某个因式为零。由于 $a+b>0$，取等号就要求 $(a-b)^2=0$，即 $a=b$。所以

   $a^3+b^3>a^2b+ab^2\ \text{ 当 } a\neq b,\qquad a^3+b^3=a^2b+ab^2\ \text{ 当 } a=b$

6. 6

   代数字检验。 取 $a=3,b=1$：$m=27+1=28$，$n=9+3=12$，确实有 $(a+b)(a-b)^2=4\cdot 4=16=28-12$。再取 $a=b=2$：$m=16$，$n=16$，正如预料的那样相等。同一个恒等式还顺带证明了那个常见结论：对正数 $a,b$ 有 $a^3+b^3\ge ab(a+b)$。