用 2x + 1 去除 2x² − 1，写出商和余数。

Step-by-step solution

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   先把缺掉的项补上。 长除法是按次数对齐的，所以要把被除式写成每一次幂都在场的样子：$2x^2-1=2x^2+0x-1.$ 省掉这一步，是符号出错最常见的来源。

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   首项相除。 $\dfrac{2x^2}{2x}=x$，所以商的第一项是 $x$。乘回去：$x(2x+1)=2x^2+x$，再相减：$(2x^2+0x-1)-(2x^2+x)=-x-1.$

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   对新的余式重复一次。 $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$。因为除式的首项系数不是 $1$，商里冒出分数是意料之中的事，不是算错。乘回去：$-\tfrac12(2x+1)=-x-\tfrac12$。

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   再减一次就可以收手。 $(-x-1)-\left(-x-\frac12\right)=-\frac12.$ $-\tfrac12$ 的次数已经低于 $2x+1$ 的次数，除法到此终止。

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   用带余除法的恒等式检验。 $\left(x-\frac12\right)(2x+1)+\left(-\frac12\right)=2x^2+x-x-\frac12-\frac12=2x^2-1,$ 正是原来的被除式。