对一般的正整数 n，把 xⁿ - yⁿ 分解因式。

Step-by-step solution

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   先说明 $(x-y)$ 一定是因式。 把式子看成关于 $x$ 的多项式，令 $x=y$ 代入：

   $y^{n}-y^{n}=0$

   由因式定理，这对每一个 $n$ 都成立，所以 $(x-y)$ 总能整除 $x^{n}-y^{n}$——不需要任何奇偶条件；这一点与 $x^{n}+y^{n}$ 不同，后者要求 $n$ 是奇数。

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   写出这个恒等式。

   $x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}$

   后一个因式恰有 $n$ 项，每一项的总次数都是 $n-1$，而且所有符号都是正号。

3. 3

   用错位相消来证明。 把 $(x-y)$ 的两项分别乘进求和式：

   $x\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n}+x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1}$

   $y\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+y^{n}$

   两式相减，除了上一行的第一项和下一行的最后一项，其余全部抵消，剩下的恰好是 $x^{n}-y^{n}$ ✓。

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   检验几个小的情形。

   $n=2:\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$

   $n=3:\ x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$

   这就是我们熟悉的平方差和立方差——它们都是同一个恒等式的特例。数值上，对 $n$ 从 $1$ 到 $8$、每个 $n$ 各取 $121$ 组整数对，通用公式都得到了验证 ✓。

5. 5

   看看什么时候还能继续分解。 如果 $n$ 是合数，比如 $n=pq$，那么原式还等于 $\left(x^{p}\right)^{q}-\left(y^{p}\right)^{q}$，于是可以再拆一次——$x^{6}-y^{6}$ 之所以能多出 $(x+y)$ 和 $x^{2}\pm xy+y^{2}$ 这些因式，就是这个道理。它在数论里还有个好用的推论：对整数而言 $x-y$ 总能整除 $x^{n}-y^{n}$，例如 $10^{n}-1$ 永远能被 $9$ 整除。