把函数 |x| 乘 x 写成分段函数。

Step-by-step solution

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   从绝对值的定义出发。 有些计算器上写的 $\operatorname{Mod}(x)$ 就是 $|x|$，而它本身就是分情况定义的：

   $|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}$

   分界点是 $x=0$，也就是绝对值里面唯一变号的地方。不分情况就写不出一个统一的代数式——这正是答案必须写成分段形式的原因。

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   把每一支都乘上 $x$。 在非负那一支上 $|x|=x$，乘积是 $x\cdot x$；在负的那一支上 $|x|=-x$，乘积是 $-x\cdot x$：

   $|x|\cdot x=\begin{cases}x^{2},&x\ge0\\-x^{2},&x<0\end{cases}$

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   检验接缝处是否连续。 从右边逼近时趋于 $0^{2}=0$；从左边逼近时趋于 $-0^{2}=0$。两者都与 $x=0$ 处的函数值一致，所以函数连续——两个半支抛物线在原点处平顺地接上了。

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   取几个值验证。 取 $x=3$：$|3|\cdot3=9=3^{2}$ ✓。取 $x=-3$：$|-3|\cdot(-3)=3\cdot(-3)=-9=-(-3)^{2}$ ✓。在 $41$ 个精确的有理数点上直接求值，结果都与分段形式吻合 ✓。注意这个函数并不处处等于 $x^{2}$：当 $x$ 为负时它是负的。

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   看清这个函数的性质。 把 $x$ 换成 $-x$ 得到 $|-x|(-x)=-|x|x$，所以它是奇函数——关于原点对称。它在整个 $\mathbb{R}$ 上还严格递增（这一点与 $x^{2}$ 不同），因而可逆，反函数是 $y\mapsto\operatorname{sign}(y)\sqrt{|y|}$。它常被紧凑地写作 $x|x|$ 或 $\operatorname{sign}(x)\,x^{2}$。