解三次方程 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0。

Step-by-step solution

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   先列出可能的有理根。 对 $a_nx^n + \dots + a_0$，任何有理根都形如 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p \mid a_0 = 3$，$q \mid a_n = 2$。所以完整的候选清单是

   $\pm 1,\ \pm 3,\ \pm\frac12,\ \pm\frac32$

   因为首项系数是 $2$ 而不是 $1$，那些分母为二的候选必须试 —— 跳过它们，就会把这个三次式误判成不可分解。

2. 2

   逐个试，找到一个成立的。 试 $x = \tfrac12$：

   $2\left(\tfrac18\right) + 3\left(\tfrac14\right) - 8\left(\tfrac12\right) + 3 = \tfrac14 + \tfrac34 - 4 + 3 = 0$

   所以 $x = \tfrac12$ 是一个根，由因式定理，$\left(x - \tfrac12\right)$ —— 等价地说，整系数因式 $(2x - 1)$ —— 能整除这个三次式。

3. 3

   除掉已知因式。 用多项式除法（或综合除法）除以 $2x - 1$，得到一个二次商且余式为零：

   $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)\left(x^2 + 2x - 3\right)$

   余式为零，正是这次除法做对了的凭证。

4. 4

   分解这个二次商。 两数之积为 $-3$、之和为 $+2$，即 $+3$ 和 $-1$：

   $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

   $\Longrightarrow \quad 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)(x + 3)(x - 1)$

5. 5

   令每个因式为零，再检验。

   $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac12, \qquad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   代回验算：$x=-3$ 时 $-54 + 27 + 24 + 3 = 0$，$x=1$ 时 $2 + 3 - 8 + 3 = 0$。三根之和为 $-3 + \tfrac12 + 1 = -\tfrac32 = -\tfrac{a_2}{a_3}$，三根之积为 $-\tfrac32 = -\tfrac{a_0}{a_3}$，都与韦达定理吻合。