把 x² − 2x + 3 配方，并写出它的最小值。

Step-by-step solution

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   先算判别式，心里好有个数。 对 $ax^{2}+bx+c$，这里 $a=1$，$b=-2$，$c=3$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(1)(3)=4-12=-8$

   因为 $\Delta<0$，所以它没有实根，在实数范围内既不能因式分解，也永远取不到零。这时配方才是有用的一步，因为它能把最小值亮出来。

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   把常数项拆开，先对含 $x$ 的部分配方。 取 $x$ 的系数的一半，也就是 $-2/2=-1$，再平方：

   $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$

   这个 $-1$ 是修正项：$(x-1)^{2}$ 展开是 $x^{2}-2x+1$，多出了 $1$，所以要把多出来的减回去。

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   把原来的常数装回来。

   $x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}-1+3=(x-1)^{2}+2$

   这个恒等式在 $80$ 个有理点上都验过 ✓ —— 它对每个 $x$ 都成立，而不只是在个别特殊值处成立。

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   直接从这个形式读出最小值。 实数的平方满足 $(x-1)^{2}\ge0$，而且只有在 $x=1$ 时取等号。于是

   $x^{2}-2x+3\ge0+2=2$

   所以最小值是 $2$，在 $x=1$ 处取到。直接代入也能验证：$1-2+3=2$ ✓；对 $8000$ 个点做数值扫描，也没有一个低于 $2$ ✓。

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   把两个结果串到一起。 最小值 $2$ 严格为正，这正是 $\Delta<0$ 的另一种看法：开口向上的抛物线，如果最低点都在 x 轴上方，就不可能与 x 轴相交。两条线索完全一致 —— $\Delta=-8$ 和顶点式给出同一个结论：对所有实数 $x$ 都有 $x^{2}-2x+3>0$。