把多项式 a³b + 9a²b² − 4ab⁵ 与 a³b − 3a²b² + ab⁵ 的差完全化简，并说明结果有几项、次数是多少。

Step-by-step solution

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   动手之前，先把减法连同括号一起写出来。 「$P$ 与 $Q$ 的差」按这个顺序就是 $P-Q$，而且第二个多项式必须整体加上括号：

   $\big(a^3b+9a^2b^2-4ab^5\big)-\big(a^3b-3a^2b^2+ab^5\big)$

   漏掉括号、只减去 $Q$ 的第一项，是这类题里最常见的错误，它会同时改变答案的项数和次数。

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   把减号分配到第二个多项式的每一项上。 每个符号都要变：

   $a^3b+9a^2b^2-4ab^5\;-\;a^3b\;+\;3a^2b^2\;-\;ab^5$

   注意 $-(-3a^2b^2)=+3a^2b^2$，而 $-(+ab^5)=-ab^5$：三个符号里有两个改变了，这正是中间两项会相加而不是抵消的原因。

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   合并同类项。 只有两个字母的指数完全相同，才算同类项：

   $a^3b-a^3b=0$

   $9a^2b^2+3a^2b^2=12a^2b^2$

   $-4ab^5-ab^5=-5ab^5$

   所以完全化简后的差是

   $12a^2b^2-5ab^5$

   两个多项式里的 $a^3b$ 项一模一样，所以互相抵消——这就是答案从三项掉到两项的原因。

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   数一数项数：它是二项式。 化简之后恰好剩下两个不同类的项，$12a^2b^2$ 和 $-5ab^5$。它们不是同类项（$a^2b^2$ 与 $ab^5$ 不同），无法再合并，所以结果是一个二项式。

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   求次数：先把每一项内部的指数相加，再取最大值。 对含多个字母的项，次数是各指数之和，而不是其中最大的那个指数：

   $\deg\!\left(12a^2b^2\right)=2+2=4,\qquad \deg\!\left(-5ab^5\right)=1+5=6$

   多项式的次数取这两者中的最大值，所以次数是 $6$。常见的失误是照着第一项读次数，那会得到错误答案 $4$；这里的各项并没有按次数从高到低排列。

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   写出结论。 完全化简后的差是 $12a^2b^2-5ab^5$：一个次数为 6 的二项式。