用综合除法把 2x³ + 2x² + 2x − 1 除以 x − 1。

Step-by-step solution

1. 1

   从除式里读出 $c$。 综合除法要求除式写成 $x-c$ 的形式。这里 $x-1$ 对应 $c=+1$——符号要翻转，误取 $c=-1$ 是最常见的错误。

2. 2

   列出系数，缺项要补零。 这个三次式各次幂都齐全，所以不需要补零占位：

   $2,\ 2,\ 2,\ -1$

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   取 $c=1$，按「落下—乘—加」的循环算。 先把 $2$ 落下来；乘以 $1$ 后加到下一个系数上，如此反复：

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 2 & 2 & -1\\ & & 2 & 4 & 6\\ \hline & 2 & 4 & 6 & 5\end{array}$

4. 4

   从最后一行读出答案。 最后一个数是余数，其余是商的系数，商的次数比被除式低一次：

   $\text{商}=2x^{2}+4x+6,\qquad \text{余数}=5$

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   用余数定理核对余数。 除以 $x-1$ 得到的余数必然是 $f(1)$：

   $f(1)=2+2+2-1=5$

   与右下角那个数完全一致 ✓——一行就能完成的独立检验。

6. 6

   展开还原，验证整个恒等式。

   $(x-1)(2x^{2}+4x+6)+5=2x^{3}+4x^{2}+6x-2x^{2}-4x-6+5=2x^{3}+2x^{2}+2x-1$

   正是原来的多项式 ✓。