一名同学用除法表格计算 x³ − 2x² − 10x + 21 除以 x² + x − 7。商的第一项是 x，第二项记作 A，求 A 的值。

Step-by-step solution

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   先弄清除法表格里的一个格子到底是什么。 除法表格就是把长除法重新排成网格：商的每一项都要这样选取——它乘上除式的首项之后，恰好抵消掉被除式剩余部分当前的首项。所以 $A$ 一点也不神秘，它就是商的第二项。

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   把第一项倒推一遍，确认表格的填法。 用被除式的首项除以除式的首项：

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   这与题目给出的第一项一致，说明表格确实是按常规从左往右填的。

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   乘回去，再相减。 把整个除式乘以刚得到的第一项，然后从被除式里减掉——这一步的作用就是消去 $x^3$ 项：

   $x(x^2 + x - 7) = x^3 + x^2 - 7x$

   $(x^3 - 2x^2 - 10x + 21) - (x^3 + x^2 - 7x) = -3x^2 - 3x + 21$

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   再做一次首项相除，就得到了 $A$。 新的被除式首项是 $-3x^2$，除式的首项仍然是 $x^2$：

   $A = \frac{-3x^2}{x^2} = -3$

   它是一个常数而不是 $-3x$，因为两边的次数正好抵消干净了。

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   填完表格，检查余式。 乘回去得到 $-3(x^2 + x - 7) = -3x^2 - 3x + 21$，相减恰好为 $0$。所以这是一次整除：

   $x^3 - 2x^2 - 10x + 21 = (x^2 + x - 7)(x - 3)$

   把右边展开，逐项都与被除式吻合，这就同时验证了商是 $x - 3$ 以及 $A = -3$。