计算 (a² − 3a − 18)/(2a² − 11a − 6) 除以 (a² + a − 6)/(2a² − a − 1)，并化到最简。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解两个首项系数为 1 的二次式。 对 $a^{2}-3a-18$，找两个数使乘积为 $-18$、和为 $-3$；对 $a^{2}+a-6$，则要乘积 $-6$、和 $1$：

   $a^{2}-3a-18=(a-6)(a+3),\qquad a^{2}+a-6=(a+3)(a-2)$

2. 2

   再用 ac 法（十字相乘）分解另外两个。 对 $2a^{2}-11a-6$：$ac=-12$，而 $-12$ 与 $1$ 之和正好是 $-11$；对 $2a^{2}-a-1$：$ac=-2$，而 $-2$ 与 $1$ 之和是 $-1$：

   $2a^{2}-11a-6=(2a+1)(a-6),\qquad 2a^{2}-a-1=(2a+1)(a-1)$

3. 3

   把除式取倒数，全部写成分解后的形式。

   $\frac{(a-6)(a+3)}{(2a+1)(a-6)}\cdot\frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-2)}$

4. 4

   跨着两个分数一起约。 在分数相乘的式子里，任意一个分子上的因式都可以和任意一个分母上的因式约掉：$(a-6)$、$(2a+1)$、$(a+3)$ 恰好都是上下各出现一次：

   $\frac{a-1}{a-2}$

   $\boxed{\dfrac{a-1}{a-2}}\qquad\left(a\neq 6,\ -\tfrac12,\ -3,\ 2\right)$

5. 5

   代一个数验算。 取 $a=0$：原式为 $\dfrac{-18}{-6}\div\dfrac{-6}{-1}=3\div 6=\tfrac12$，而化简结果给出 $\dfrac{-1}{-2}=\tfrac12$ ✓。

6. 6

   把所有排除值都记下来。 最终形式里只看得见 $a=2$，但 $a=6$、$a=-\tfrac12$、$a=-3$ 也被原式的分母以及「除式不能为零」这一条排除掉了——尽管化简后的分式在这几点上完全有定义，这些限制仍然必须一路带着。