解方程 x² − 6x − 5 = 0。

Step-by-step solution

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   先确认系数，再试试能不能因式分解。 这里 $a=1$，$b=-6$，$c=-5$。要做整数分解，就得找两个数，乘积为 $-5$、和为 $-6$；而 $-5$ 的整数因数对只有 $(1,-5)$ 和 $(5,-1)$，对应的和是 $-4$ 和 $4$ —— 都不等于 $-6$。所以两根不是整数，必须动用求根公式。

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   计算判别式。

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(1)(-5)=36+20=56$

   $-4ac$ 这一项之所以变成 $+20$，是因为 $c$ 是负数 —— 这里的符号疏忽是答案算错最常见的原因。既然 $\Delta=56>0$ 却不是完全平方数，就该预料到两个无理根。

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   代入求根公式。

   $x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{56}}{2(1)}=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}$

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   先化简根式，再约分。 提出最大的平方因数：$56=4\cdot14$，所以 $\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。这样公因数 $2$ 就露出来了：

   $x=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{2}=\frac{2\left(3\pm\sqrt{14}\right)}{2}=3\pm\sqrt{14}$

   这个 $2$ 必须从分子的两项里同时约掉；只拿它去和 $6$ 约，就会得到错误的 $3\pm2\sqrt{14}$。

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   用韦达定理和数值两头验算。 两根之和应该等于 $-b/a=6$：$\left(3+\sqrt{14}\right)+\left(3-\sqrt{14}\right)=6$ ✓。两根之积应该等于 $c/a=-5$：$3^{2}-\left(\sqrt{14}\right)^{2}=9-14=-5$ ✓。数值上 $x\approx6.7417$ 与 $x\approx-0.7417$，残差都低于 $10^{-11}$ ✓。