解方程：以 2 为底 x 的对数，加上以 3 为底 x 的对数，等于 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先把两个对数化到同一个底。 底数不同的对数不能直接相加，换底公式正好解决这件事：

   $\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2},\qquad \log_3 x=\frac{\ln x}{\ln 3}$

   （换成任何一个公共底都行，用自然对数只是记号最短。）

2. 2

   令 $t=\ln x$，方程的一次结构立刻显现。

   $\frac{t}{\ln 2}+\frac{t}{\ln 3}=5$

   未知量只通过 $t$ 出现，而且只是一次幂 —— 这样一写，它就是一元一次方程，不再是对数方程了。

3. 3

   把 $t$ 提出来，再把两个分数并起来。

   $t\left(\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}\right)=5\quad\Rightarrow\quad t\cdot\frac{\ln 3+\ln 2}{\ln 2\,\ln 3}=5\quad\Rightarrow\quad t=\frac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 2+\ln 3}$

   注意 $\ln 2+\ln 3=\ln 6$，所以也可以写成 $t=\dfrac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 6}$。

4. 4

   算出 $t$ 的数值。 取 $\ln 2=0.6931472$、$\ln 3=1.0986123$：

   $\ln 2\,\ln 3=0.7615000,\qquad \ln 6=1.7917595,\qquad t=\frac{3.8075001}{1.7917595}=2.1250062$

5. 5

   取指数还原出 $x$。

   $x=e^{t}=e^{2.1250062}=8.3729497$

   由于 $x>1$，两个对数都是正的，结果自洽 —— 而且它必然大于 $2^{5/2}\approx 5.66$，因为假如 $\log_3 x$ 为零，单靠 $\log_2x$ 就得凑到这么大。

6. 6

   验算，并否掉 6.06 这个说法。 $\log_2 8.3729497=3.0657$，$\log_3 8.3729497=1.9343$，两者之和恰为 $5.0000$ ✓。相比之下，$x=6.06$ 算出来是 $2.5993+1.6400=4.2393$，离 $5$ 还差将近 $0.76$，根本不是解。