把双重根号 √(11 − √120) 化简成两个平方根之差。

Step-by-step solution

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   先把里层根号化成 $2\sqrt{k}$ 的样子。 去双重根号的配方套路要求内层根号前带一个因子 $2$，所以先从 $120$ 里提出完全平方数：

   $\sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=2\sqrt{30}\;\Longrightarrow\;11-\sqrt{120}=11-2\sqrt{30}$

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   套上完全平方的模板。 若 $11-2\sqrt{30}=\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2$，把右边展开可得

   $\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2=m+n-2\sqrt{mn}$

   要让有理部分与无理部分分别对应相等，就必须有

   $m+n=11,\qquad mn=30$

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   解这个小方程组。 这正是两个数的和与积，所以 $m$、$n$ 是 $t^2-11t+30=0$ 的两个根：

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-120}}{2}=\frac{11\pm 1}{2}\;\Longrightarrow\;t=6\ \text{或}\ 5$

   判别式恰好是完全平方数（$1$），这正是双重根号能化开的条件——大多数双重根号根本化不开。

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   开方时注意取号。 平方根非负，所以要选让差为正的那种搭配，也就是 $m=6$、$n=5$：

   $\sqrt{11-\sqrt{120}}=\sqrt{\left(\sqrt6-\sqrt5\right)^2}=\left|\sqrt6-\sqrt5\right|=\sqrt6-\sqrt5$

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   代数值检验，顺带看看倒数的有理化。 数值上 $\sqrt{120}=10.9545$，于是 $11-\sqrt{120}=0.0455488$，它的平方根是 $0.213422$；另一边 $\sqrt6-\sqrt5=2.449490-2.236068=0.213422$ $\checkmark$——两者完全吻合，没有需要解释的偏差。还有一个好用的附带结论：它的倒数能干净地做分母有理化，因为

   $\frac{1}{\sqrt6-\sqrt5}=\frac{\sqrt6+\sqrt5}{6-5}=\sqrt6+\sqrt5$

   所以这个根式与它的倒数之和是 $2\sqrt6$。