解不等式 log₅(x − 3√x + 32) < 2·log₅(√x + 2)，并给出最小正整数解。选项：17、25、16、20。

Step-by-step solution

1. 1

   先定下定义域，因为对数会限制取值。 出现 $\sqrt{x}$ 就已经要求 $x\geq 0$。左边的对数要求 $x-3\sqrt{x}+32>0$；令 $t=\sqrt{x}\geq 0$，它化成 $t^{2}-3t+32>0$，其判别式为

   $D=(-3)^{2}-4(1)(32)=9-128=-119<0$

   判别式为负而首项系数为正，说明 $t^{2}-3t+32$ 对每个 $t$ 都取正值，所以这一条并没有带来新的限制。右边的对数要求 $\sqrt{x}+2>0$，自动成立。于是定义域恰好是 $x\geq 0$。

2. 2

   把系数 $2$ 收进对数里。 用 $k\log_{b}u=\log_{b}u^{k}$，因为 $\sqrt{x}+2>0$，这一步合法：

   $2\log_{5}\left(\sqrt{x}+2\right)=\log_{5}\left(\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}\right)$

   现在两边都是单个的、以 $5$ 为底的对数。

3. 3

   按正确的方向脱掉对数。 因为底数 $5>1$，$\log_{5}$ 严格递增，所以对数之间的不等式与真数之间的不等式等价 —— 不等号不翻向：

   $x-3\sqrt{x}+32<\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}$

   如果底数落在 $0$ 与 $1$ 之间，这一步就必须把不等号反过来。

4. 4

   展开，看 $x$ 项怎样抵消。 由于 $\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}=x+4\sqrt{x}+4$，

   $x-3\sqrt{x}+32<x+4\sqrt{x}+4$

   两边同减 $x$，关于 $\sqrt{x}$ 的二次部分被整个消掉，只剩下一个关于 $\sqrt{x}$ 的一次不等式：

   $-3\sqrt{x}+32<4\sqrt{x}+4\ \Longrightarrow\ 28<7\sqrt{x}\ \Longrightarrow\ \sqrt{x}>4$

5. 5

   放心地平方，再与定义域取交集。 $\sqrt{x}>4$ 的两边都非负，所以平方保持不等号：

   $x>16$

   它本来就落在定义域 $x\geq 0$ 之内，所以解集是 $(16,+\infty)$。

6. 6

   挑出最小正整数并验证。 严格大于 $16$ 的最小整数是 $17$，也就是选项 1。直接代入还能确认边界的严格性：在 $x=16$ 处两边分别是 $\log_{5}(36)$ 与 $\log_{5}(36)$，相等，因此不是解；而在 $x=17$ 处左边是 $\log_{5}(36.63)$、右边是 $\log_{5}(37.49)$，不等式成立。逐一检验 $x=0,1,4,9,16$ 全都不成立，$16.5,17,25$ 全都成立，与 $x>16$ 吻合。