解不等式 |x + 1| + |x - 1| ≤ 3。

Step-by-step solution

1. 1

   把左边读成「总距离」。 由于 $|x+1|=|x-(-1)|$，这个式子就是 $x$ 到 $-1$ 的距离加上 $x$ 到 $1$ 的距离。位于 $-1$ 与 $1$ 之间的任何点，总距离恰好是 $2$（两个定点之间的间隔）；一旦跑到外面，超出多少就要多付两倍。所以这个不等式问的是：哪些点的总路程预算不超过 $3$？

2. 2

   在分界点处分段。 绝对值里的两个式子分别在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处变号，所以要分三段处理：$x\le -1$、$-1\le x\le 1$、$x\ge 1$。

3. 3

   情形 $x\le -1$。 此时 $x+1\le 0$ 且 $x-1<0$，两个绝对值都要变号：

   $-(x+1)-(x-1)=-2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\ge -\frac32$

   （除以 $-2$ 时不等号方向要反过来。）与 $x\le -1$ 取交集，得 $-\frac32\le x\le -1$。

4. 4

   情形 $-1\le x\le 1$。 现在 $x+1\ge 0$ 而 $x-1\le 0$，于是

   $(x+1)-(x-1)=2\le 3$

   $x$ 被完全消掉了：这一段里每个 $x$ 都使不等式成立，所以整个区间 $[-1,1]$ 都属于解集。这正是第 1 步里预言的那段「平底」。

5. 5

   情形 $x\ge 1$。 两个式子都非负：

   $(x+1)+(x-1)=2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\le \frac32$

   与 $x\ge 1$ 取交集，得 $1\le x\le \frac32$。

6. 6

   把三段并起来，再验一下端点。

   $\left[-\tfrac32,-1\right]\cup[-1,1]\cup\left[1,\tfrac32\right]=\left[-\tfrac32,\tfrac32\right]$

   验算：在 $x=\frac32$ 处左边等于 $2.5+0.5=3$，所以端点取得到；在 $x=1.6$ 处等于 $2.6+0.6=3.2>3$，理应排除。换个写法，答案就是 $|x|\le \frac32$。