求解 285a + 315b + 590c = 21806。它有整数解吗？实数解集又是什么？

Step-by-step solution

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   先算系数的最大公约数。 $\gcd(285, 315) = 15$，$\gcd(15, 590) = 5$，所以

   $\gcd(285, 315, 590) = 5$

   左边每一项都是 $5$ 的倍数，所以不论整数 $a, b, c$ 取什么值，整个左端都是 $5$ 的倍数。

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   把整除判别法用到右端。 线性不定方程 $\sum k_i x_i = N$ 有整数解，当且仅当 $\gcd(k_1,\dots,k_n)$ 整除 $N$。这里

   $21{,}806 = 5 \times 4361 + 1$

   所以 $21{,}806 \equiv 1 \pmod 5$，最大公约数这一条件不成立。

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   下结论：整数解不存在。 因为左端 $\equiv 0 \pmod 5$ 而右端 $\equiv 1 \pmod 5$，任何整数取值都无法让等式成立。注意这里不能「两边同除以 5」——$\tfrac{21806}{5} = 4361.2$ 不是整数，所以写成 $57a + 63b + 118c = 4361$ 等于悄悄换了一道题。

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   转而描述实数解集。 在 $\mathbb{R}$ 上，这是三个未知数、一个方程，所以解集是 $\mathbb{R}^3$ 中的一张平面。解出 $a$ 得到参数表示

   $a = \frac{21806 - 315b - 590c}{285}, \qquad b, c \in \mathbb{R}$

   两个自由参数，正是一张平面该有的样子。

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   取几个点验算。 取 $b = c = 0$ 得 $a = \tfrac{21806}{285} = 76.5123$，而 $285 \times 76.5123 = 21806.0$。再取 $b = 10$、$c = 5$：$a = \tfrac{21806 - 3150 - 2950}{285} = \tfrac{15706}{285} = 55.1088$，而 $285(55.1088) + 3150 + 2950 = 21806.0$。两次算出的 $a$ 都不是整数，这与模 5 的障碍完全吻合。

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   什么情况下才会有整数解？ 如果右端换成 $21{,}805$ 或 $21{,}810$——只要是 $5$ 的倍数——最大公约数判别就能通过，整数解也就存在了；比如 $285(1) + 315(0) + 590(36) = 21{,}525$ 就说明这个整点格子离目标有多近。真正把整数解排除掉的，正是 $21{,}806$ 这个特定的值。