解方程：(x² − 6x + 25) 的平方根等于 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认平方这一步是合法的。 右边是常数 $5>0$，所以不会额外给 $x$ 附加条件；另外 $x^2-6x+25 = (x-3)^2+16 \ge 16 > 0$，被开方式恒有意义。因此这里平方既不会丢根，也不会造出多余的根。

2. 2

   两边平方。 $x^2-6x+25 = 25.$

3. 3

   消去常数再因式分解。 两边的 $25$ 抵消：$x^2-6x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-6) = 0.$ 这里提出公因式 $x$，比用求根公式更快也更稳。

4. 4

   读出两个根。 $x = 0 \quad\text{或}\quad x = 6.$

5. 5

   把两个根代回原方程检验。 当 $x=0$：$\sqrt{0-0+25} = \sqrt{25} = 5$。当 $x=6$：$\sqrt{36-36+25} = \sqrt{25} = 5$。都成立 —— 没有产生增根。

6. 6

   看清其中的对称性。 配方后原方程是 $\sqrt{(x-3)^2+16} = 5$，即 $(x-3)^2 = 9$，所以 $x-3=\pm3$。两个根关于顶点 $x=3$ 对称，这正是它们为什么是 $0$ 和 $6$ 的原因。