证明恒等式 x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)。

Step-by-step solution

1. 1

   先定下证明的方向。 证恒等式就是把一边变形成另一边，不能像解方程那样把项移到等号另一侧。右边更复杂，所以我们把右边展开，目标是化到 $x^3+y^3$。走这个方向只需要展开，不需要任何因式分解的灵机一动。

2. 2

   展开二项式的立方。 由二项式展开，

   $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

   中间两项的系数都是 3，这正是为什么带因子 3 的那个修正项能够把它们消掉。

3. 3

   展开修正项。

   $3xy(x+y)=3xy\cdot x+3xy\cdot y=3x^2y+3xy^2$

   它和立方展开产生的那一对交叉项逐项对得上。

4. 4

   相减，看着交叉项消失。

   $(x+y)^3-3xy(x+y)=\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)-\left(3x^2y+3xy^2\right)=x^3+y^3$

   中间两项刚好抵消干净，证明到此完成：右边等于 $x^3+y^3$，所以这个恒等式对任意 $x,y$ 都成立。

5. 5

   这个恒等式为什么值得记住。 它把 $x^3+y^3$ 只用两个初等对称量 $s=x+y$ 和 $p=xy$ 表示出来，即 $x^3+y^3=s^3-3ps$。当题目只给出两根之和与两根之积、却不给根本身时，这就是求 $x^3+y^3$ 的标准路线。

6. 6

   代数验算。 取 $x=2,\,y=3$：左边是 $8+27=35$；右边是 $5^3-3\cdot 6\cdot 5=125-90=35$。两边相等，与推导一致。