解方程组 3x + 2y = 5 与 2x − 3y = −1。

Step-by-step solution

1. 1

   选用加减消元，并挑好要消掉的变量。 两个方程里都没有系数为 $1$ 的项，所以用代入法会引入分数，加减消元更干净。$y$ 的系数是 $2$ 和 $-3$，最小公倍数是 $6$——而且它们本来就一正一负，所以只要放大倍数，相加时自然就抵消了。

2. 2

   分别放大两个方程。 第一式乘 $3$，第二式乘 $2$：

   $3(3x+2y=5)\;\Longrightarrow\;9x+6y=15,$

   $2(2x-3y=-1)\;\Longrightarrow\;4x-6y=-2.$

   每一项都要乘，右边也不能漏——$15$ 和 $-2$ 正是这一步最常出错的地方。

3. 3

   两式相加，消去 $y$。 $+6y$ 与 $-6y$ 抵消：

   $(9x+4x)+(6y-6y)=15+(-2)\;\Longrightarrow\;13x=13\;\Longrightarrow\;x=1.$

4. 4

   回代求 $y$。 用原来的第一个方程：

   $3(1)+2y=5\;\Longrightarrow\;2y=2\;\Longrightarrow\;y=1.$

   代进原始方程而不是放大后的方程，可以保证第 2 步万一算错也不会悄悄传染到 $y$ 上。

5. 5

   在两个原方程里都检验一遍。 第一式：$3(1)+2(1)=5$ ✓。第二式：$2(1)-3(1)=-1$ ✓。从几何上看，两条直线的斜率是 $-\tfrac32$ 和 $\tfrac23$，互为负倒数，所以它们在唯一的点 $(1,1)$ 处垂直相交——解唯一，这一点由非零的系数行列式 $3(-3)-2(2)=-13$ 保证。