解方程 x³ - 14x² + 23 = 0。

Step-by-step solution

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   先看缺掉的 $x$ 项透露了什么。 写全了这个三次方程是 $x^{3}-14x^{2}+0\cdot x+23=0$，于是韦达定理给出 $r_{1}+r_{2}+r_{3}=14,\qquad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=0,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-23.$ 中间那个关系恰好等于零，这是一个很强的约束，也是最后最好用的检验手段。

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   排除有理根。 首一整系数三次方程的有理根必须整除常数项 $23$，而 $23$ 是质数，所以候选只有 $\pm1$ 和 $\pm23$。逐个代入：$f(1)=10$，$f(-1)=8$，$f(23)=4784$，$f(-23)=-19550$。都不为零，说明这个三次式在有理数范围内无法分解，只能用数值方法求根。

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   把三个根分别夹住。 记 $f(x)=x^{3}-14x^{2}+23$：$f(-1.3)=-2.857,\quad f(-1.2)=1.112,\quad f(1.3)=1.537,\quad f(1.4)=-1.696,\quad f(13.8)=-15.088,\quad f(13.9)=3.679.$ 出现三次变号，所以三个根都是实根，分别落在 $(-1.3,-1.2)$、$(1.3,1.4)$ 和 $(13.8,13.9)$ 之内。

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   用牛顿迭代法加精。 取 $f'(x)=3x^{2}-28x$，在每个区间内迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，得到 $x_{1}=-1.228935648,\qquad x_{2}=1.348309644,\qquad x_{3}=13.880626004.$

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   用韦达定理的三个关系一起确认。 三根之和是 $14.000000000$，两两乘积之和是 $-0.000000000$，三根之积是 $-23.000000000$——三项都与系数吻合。两两乘积之和是决定性的检验：像 $-1.255$、$1.333$、$13.922$ 这样的近似值看着挺像回事，甚至能让和接近 $14$，但在这一项上就露馅了（实际上 $f(13.922)=7.88$，并不是 $0$）。

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   写出答案。 $x\approx -1.228936,\qquad x\approx 1.348310,\qquad x\approx 13.880626.$ 两个根靠近原点，一个远在 $14$ 附近，这正是主导项 $-14x^{2}$ 配上一个很小的常数 $23$ 应该产生的分布。