解方程 0.2 · 0.2 · x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0，求 x 的实数值。

Step-by-step solution

1. 1

   先化简系数、去掉小数。 由于 $0.2\times 0.2=0.04$，方程就是 $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4=0$。两边同乘 $25$ 便得到整系数：

   $x^{6}+25x^{4}+25x^{2}-100=0$

2. 2

   换元降次。 式中只出现 $x$ 的偶次幂，所以令 $y=x^{2}$（于是 $x^{6}=y^{3}$、$x^{4}=y^{2}$）：

   $y^{3}+25y^{2}+25y-100=0$

   关键的一点是 $y=x^{2}\ge 0$，所以只有非负的根 $y$ 才能给出实数 $x$。

3. 3

   排除有理根。 按有理根定理，候选值是 $100$ 的各个约数：$\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$。逐个代入都不为零，所以这个三次式在有理数上分解不了，根只能靠数值方法求。

4. 4

   把那个正根圈进一个区间。 记 $g(y)=y^{3}+25y^{2}+25y-100$，则

   $g(1)=1+25+25-100=-49<0,\qquad g(2)=8+100+50-100=58>0$

   于是由介值定理，$(1,2)$ 内必有一个根。又因为 $y>0$ 时 $g'(y)=3y^{2}+50y+25>0$，$g$ 在那里严格递增，所以这个根是唯一的非负根。

5. 5

   用牛顿法加细。 从 $y_{0}=1.5$ 出发迭代 $y\leftarrow y-\dfrac{g(y)}{g'(y)}$，收敛到

   $y\approx 1.526734392725$

   （三次式另外两个根 $y\approx -2.75539$ 和 $y\approx -23.77135$ 都是负的，给不出实数 $x$。）

6. 6

   换元回代并检验。 由 $x^{2}=y$，

   $x=\pm\sqrt{1.526734392725}\approx\pm 1.235610939060$

   把 $x=1.235610939060$ 代回 $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4$，在机器精度下结果是 $0$。方程是偶的，所以两个根关于原点对称。