解不等式 |2x − 1| ≤ 3。

Step-by-step solution

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   把 $|A|\le b$ 翻译成一条连不等式。 绝对值量的是到 $0$ 的距离，要求这个距离至多为 $3$，就等于把 $2x-1$ 限制在 $-3$ 到 $3$ 之间的闭带内：

   $-3\le2x-1\le3$

   因为这里是不超过而非不小于，结果是一个有界区间而不是两条射线——不等号的方向决定了答案的形状。

2. 2

   三边同时加 1。 三边同加一个常数不改变任何一个不等号的方向：

   $-3+1\le2x\le3+1\qquad\Longrightarrow\qquad-2\le2x\le4$

3. 3

   三边同时除以 2。 除数是正数，所以不用变号：

   $-1\le x\le2$

4. 4

   用闭区间写出答案。

   $[-1,2]$

   两个端点都包含在内，因为原不等式允许取等号——方括号记录的正是这一点。

5. 5

   验证端点和区间外的点。 当 $x=-1$：$|2(-1)-1|=|-3|=3\le3$ ✓。当 $x=2$：$|4-1|=3\le3$ ✓。在中心 $x=\tfrac12$ 处：$|0|=0$ ✓。刚出界的 $x=3$ 给出 $|5|=5$ ✗。在 $90$ 个精确有理点上把原不等式和 $[-1,2]$ 逐点对照，处处一致 ✓。注意这个区间以 $x=\tfrac12$（即 $2x-1=0$ 之处）为中心，半径为 $\tfrac32$。