解不等式 2x² − 3x − 2 > 0。

Step-by-step solution

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   先确认不等式已经是标准形式。 所有项都在左边、右边是 $0$，可以直接因式分解。注意二次项系数是 $2$，也就是首项系数不为 $1$，拆项时必须把它考虑进去。

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   分解首项系数不为 1 的二次式。 找两个整数，使乘积为 $ac = 2\cdot(-2) = -4$、和为 $b=-3$：它们是 $-4$ 和 $1$。据此拆开中间项，$2x^2-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2)$，于是 $2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2).$ 乘回去检验得 $2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$，对上了。

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   求临界点。 令每个因式为零：$2x+1=0$ 给出 $x=-\tfrac12$，$x-2=0$ 给出 $x=2$。只有在这两处，整个式子的符号才可能改变。

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   逐区间判号。 这两点把数轴分成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,2\right)$ 和 $(2,\infty)$。取 $x=-1$：$(2(-1)+1)((-1)-2) = (-1)(-3) = 3>0$。取 $x=0$：$(1)(-2) = -2<0$。取 $x=3$：$(7)(1) = 7>0$。$+,-,+$ 这个规律正是开口向上的抛物线必然呈现的样子。

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   保留乘积为正的区间。 因为是严格不等号，两个根本身要排除在外：$x<-\tfrac12 \quad \text{或} \quad x>2, \qquad \text{即 } \left(-\infty,-\tfrac12\right)\cup(2,\infty).$

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   记住这个口诀。 当 $a>0$ 且有两个不相等的实根 $r_1<r_2$ 时，$ax^2+bx+c>0$ 的解集永远是两根之外，$<0$ 的解集永远是两根之间——上面的符号表不过是把它再验证了一遍。