解不等式 4x² − 4x + 1 ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   别急着变形，先算判别式。 取 $a=4$，$b=-4$，$c=1$：

   $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$

   判别式为零意味着有重根——抛物线只是与横轴相切于一点，而不是穿过去。就这一个事实决定了整道题的答案。

2. 2

   认出它是完全平方。 首末两项是 $(2x)^2$ 和 $1^2$，中间项正好是 $-2\cdot(2x)\cdot1=-4x$ ✓，所以

   $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

   不等式于是化为 $(2x-1)^2\le0$。

3. 3

   用平方数的基本性质。 对一切实数 $x$，

   $(2x-1)^2\ge0$

   再和题目的要求 $(2x-1)^2\le0$ 放在一起，两边只能在一处相遇：

   $(2x-1)^2=0$

4. 4

   解出这个方程。

   $2x-1=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac12$

   所以解集是孤立的一个点 $\left\{\tfrac12\right\}$，而不是区间——这种答案形态值得记一下，因为几乎所有其它一元二次不等式给出的都是一个区间或两个区间的并。

5. 5

   顺便和严格不等式的情形比一比。 如果题目写成 $4x^2-4x+1<0$，答案就是空集，因为平方数不可能严格为负；而 $4x^2-4x+1\ge0$ 则被每一个实数满足。同一个三项式，三种写法的答案天差地别。

6. 6

   验证。 在 $60$ 个精确有理点上核对 $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$，恒等式成立 ✓；在 $[-3,3]$ 上扫过 $6001$ 个有理点，满足该不等式的值只有 $x=\tfrac12$ ✓。