解方程 |(2x − 3)/7| = (1/2)·|(x + 3)/4|。

Step-by-step solution

1. 1

   把正的常数提到绝对值外面。 当 $c > 0$ 时 $|A/c| = |A|/c$，于是

   $\frac{|2x-3|}{7} = \frac12\cdot\frac{|x+3|}{4} = \frac{|x+3|}{8}$

   分母 $7$、$4$ 和因子 $\tfrac12$ 都是正的，所以搬出来时不需要额外考虑符号。

2. 2

   去掉分母。 两边同乘 $56$（$7$ 与 $8$ 的最小公倍数）：

   $8|2x-3| = 7|x+3|$

   现在方程里已经没有分数，两个绝对值外面只剩整数系数。

3. 3

   放心地两边平方。 两边都非负，所以平方在这里是可逆的一步，不会引入增根：

   $64(2x-3)^2 = 49(x+3)^2$

4. 4

   展开并整理成一元二次方程。

   $64\left(4x^2-12x+9\right) = 49\left(x^2+6x+9\right)$

   $256x^2 - 768x + 576 = 49x^2 + 294x + 441$

   $207x^2 - 1062x + 135 = 0 \quad \xrightarrow{\ \div 9\ } \quad 23x^2 - 118x + 15 = 0$

5. 5

   解这个一元二次方程。 取 $a = 23$，$b = -118$，$c = 15$：

   $\Delta = 118^2 - 4(23)(15) = 13924 - 1380 = 12544 = 112^2$

   $x = \frac{118 \pm 112}{46} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{230}{46} = 5 \quad \text{或} \quad x = \frac{6}{46} = \frac{3}{23}$

   判别式是完全平方数，说明原题本来就是设计成有理数答案的。

6. 6

   把两个根代回原方程验证。 当 $x = 5$：$\left|\tfrac{7}{7}\right| = 1$，而 $\tfrac12\left|\tfrac{8}{4}\right| = 1$。当 $x = \tfrac{3}{23}$：$\left|\tfrac{-63/23}{7}\right| = \tfrac{9}{23}$，而 $\tfrac12\left|\tfrac{72/23}{4}\right| = \tfrac{9}{23}$。两个都精确吻合，所以解集是 $\left\{5,\ \tfrac{3}{23}\right\}$。