设 a > 0，解不等式 ax² − (2a − 1)x + 2 ≥ 2x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有项移到左边。 减去 $2x$ 后，两个一次项合并：

   $ax^{2}-\left[(2a-1)+2\right]x+2\ge 0\ \Longrightarrow\ ax^{2}-(2a+1)x+2\ge 0$

2. 2

   把二次式分解。 试着写成 $(x-2)(ax-1)$，展开验证：

   $(x-2)(ax-1)=ax^{2}-x-2ax+2=ax^{2}-(2a+1)x+2\ \checkmark$

   于是不等式化为 $(x-2)(ax-1)\ge 0$。

3. 3

   把二次项系数化成 1。 因为 $a>0$，除以 $a$ 不改变不等号方向，而 $ax-1=a\left(x-\tfrac1a\right)$：

   $(x-2)\left(x-\frac{1}{a}\right)\ge 0$

   两根是 $2$ 和 $\tfrac1a$；抛物线开口向上，所以解集在两根之外——但哪个根在左边，要看 $a$ 的取值。

4. 4

   情形一：$0<a<\tfrac12$（此时 $\tfrac1a>2$）。 两根从小到大是 $2<\tfrac1a$，所以

   $\left(-\infty,2\right]\cup\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$

   取 $a=\tfrac14$ 检验（两根为 $2$ 和 $4$）：$x=0$ 时原式为 $2\ge 0$ ✓，$x=3$ 时为 $-\tfrac14<0$ ✗，$x=5$ 时为 $\tfrac34\ge 0$ ✓。

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   情形二：$a=\tfrac12$（此时 $\tfrac1a=2$）。 两根重合，不等式变成 $\tfrac12(x-2)^{2}\ge 0$，对任何实数都成立：

   $x\in\mathbb{R}$

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   情形三：$a>\tfrac12$（此时 $\tfrac1a<2$）。 现在 $\tfrac1a$ 成了较小的那个根：

   $\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]\cup\left[2,+\infty\right)$

7. 7

   把三种情形汇总。 整个答案只取决于 $\tfrac1a$ 与 $2$ 这一次大小比较，也就是 $a<\tfrac12$、$a=\tfrac12$ 还是 $a>\tfrac12$——凡是根依赖于参数的含参二次不等式，都是这个标准套路。