解方程 43681x⁶ − 22932.5x⁵ + 3931.3x⁴ − 221.1x³ + 1.945e−7 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先说明那个常数项为什么不能随手丢掉。 去掉它以后方程可分解为 $x^3(43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1)=0$，在 $x=0$ 处有一个三重根。而那个极小的常数 $1.945\times10^{-7}$ 会把这个三重根扰动成三个聚在原点附近的小根，也就是说它掌管着整个小 $x$ 区域的行为，必须留着。

2. 2

   从三次因式里找出三个较大的根。 当 $x$ 离零足够远时，常数项可以忽略，根就是

   $43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1=0$

   的根。变号情况：$f(0.14)<0$，$f(0.15)>0$，$f(0.16)<0$，$f(0.23)>0$。在完整的六次式上对每个区间做二分，得到

   $x=0.14670508,\qquad x=0.15345189,\qquad x=0.22484227$

   前两个只相差 $0.0067$，所以步长取得太粗的求解器会漏掉其中一个。

3. 3

   把原点附近那三个小根分辨出来。 当 $|x|\ll 1$ 时，六次式由 $-221.1x^3+1.945\times10^{-7}$ 主导，给出估计 $x^3\approx 8.797\times10^{-10}$，即 $|x|\approx 9.6\times10^{-4}$。在完整多项式上用牛顿法细化，得到实根

   $x=0.000963677$

   另外两个是它的复立方根伙伴 $x\approx-0.00048175\pm0.00082509\,i$。

4. 4

   核对根的个数。 六次多项式按重数恰好有六个根。我们有四个实根（$0.000963677$、$0.14670508$、$0.15345189$、$0.22484227$）和一对共轭复根——合计六个，所以一个都没漏。

5. 5

   用残差检验每个实根。 把它们代回去，残差分别是 $2.6\times10^{-23}$、$1.2\times10^{-16}$、$5.2\times10^{-18}$ 和 $3.4\times10^{-16}$——在机器精度内全是零 ✓。相比之下，常被引用的那一组答案里含有 $0.0887304343$ 和 $0.2575361876$，它们的残差分别是 $-0.0156$ 和 $+0.2814$，所以那两个数并不是这个方程的根。