解不等式 −2x² + 8 ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方项孤立出来。 两边同时减去 $8$：

   $-2x^{2}\le-8$

2. 2

   除以 $-2$，同时把不等号反向。 不等式两边乘或除以一个负数时方向要翻转——这道题从头到尾就靠这一条规则：

   $x^{2}\ge4$

   这里如果还留着 $\le$，就会得到恰好相反的错误答案 $-2\le x\le2$，所以变号不是可选动作。

3. 3

   把 $x^{2}\ge4$ 当成距离条件来解。 因为 $x^{2}=|x|^{2}$，这个条件就是 $|x|\ge2$：点 $x$ 到原点的距离至少是 $2$。满足它的是 $[-2,2]$ 外侧的两条射线，而不是中间那段：

   $x\le-2\qquad\text{或}\qquad x\ge2$

4. 4

   写出解集。

   $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$

   两个端点都包含在内：当 $x=\pm2$ 时 $-2(4)+8=0$，而 $0\le0$ 成立 ✓。

5. 5

   用图像和取点检验。 $y=-2x^{2}+8$ 是开口向下的抛物线，零点在 $\pm2$，顶点是 $(0,8)$；它恰好在两个零点之外才小于或等于零。取点检验：$x=0$ 给出 $8\le0$ ✗（确实该排除），$x=3$ 给出 $-18+8=-10\le0$ ✓，$x=-3$ 给出 $-10\le0$ ✓。在 $51$ 个精确有理点上，原不等式与所给解集的判断完全一致 ✓。