解不等式 (x − 2)³ (x − 4)⁴ (x − 5)³ (x − 10)⁶ ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   列出零点及其重数。 乘积恰好在下面这些点为零：

   $x=2\ (\text{重数 }3),\quad x=4\ (\text{重数 }4),\quad x=5\ (\text{重数 }3),\quad x=10\ (\text{重数 }6).$

   由于不等式用的是 $\le$ 而不是 $<$，这四个点自动都是解——这个细节在 $x=10$ 处影响很大。

2. 2

   用指数的奇偶性把问题缩小。 偶次幂永不为负，所以 $(x-4)^{4}$ 和 $(x-10)^{6}$ 处处 $\ge 0$，在任何地方都翻不动符号。于是在零点之外，整个乘积的符号就等于

   $(x-2)^{3}(x-5)^{3},$

   的符号；而立方保持符号，所以它又与 $(x-2)(x-5)$ 同号。

3. 3

   读出 $(x-2)(x-5)$ 的符号。 这条开口向上的抛物线在两根之间严格为负、在两根之外为正：

   $(x-2)(x-5)<0\iff 2<x<5.$

   所以乘积在 $(2,5)$ 上为负——只不过在 $x=4$ 处它等于零，而零仍然满足 $\le 0$，所以那里什么也没丢——并在 $(-\infty,2)\cup(5,10)\cup(10,\infty)$ 上为正。

4. 4

   拼出解集，别漏掉那个孤立点。 把为负的区间和四个零点合起来：

   $[2,5]\cup\{10\}.$

   点 $x=10$ 是孤立的：它两侧的乘积都严格为正（那是一个六次幂乘上若干正因子），但在 $x=10$ 本身乘积等于 $0$，而 $\le$ 是接纳零的。漏掉这个点，是这类题里最常见的一个错误。

5. 5

   用取样值验证。 $x=0$：$(-8)(256)(-125)(10^{6})>0$，不在解集 ✓。$x=3$：$(1)(1)(-8)(\ldots)=-941192<0$，在解集 ✓。$x=4.5$：$\approx-3379<0$，在解集 ✓。$x=6$：$+4194304>0$，不在解集 ✓。$x=9$：$+13720000>0$，不在解集 ✓。$x=10$：恰好是 $0$，在解集 ✓。$x=11$：$+378071064>0$，不在解集 ✓。