求 (x + 10)(x² − 10x + 100) 的积并化简。

Step-by-step solution

1. 1

   动手乘之前先认出它的形状。 立方和公式是

   $(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}.$

   拿它去对照题目：取 $a=x$、$b=10$，则 $a^2=x^2$、$-ab=-10x$、$b^2=100$——每一项都严丝合缝。

2. 2

   套用这个公式。

   $(x+10)\left(x^{2}-10x+100\right)=x^{3}+10^{3}=x^{3}+1000.$

3. 3

   再老老实实展开一遍验证。 先用 $x$、再用 $10$ 去乘那个三项式：

   $x\left(x^{2}-10x+100\right)=x^{3}-10x^{2}+100x,$
   $10\left(x^{2}-10x+100\right)=10x^{2}-100x+1000.$

4. 4

   把两行相加，看着中间的项消失。

   $x^{3}+\left(-10x^{2}+10x^{2}\right)+\left(100x-100x\right)+1000=x^{3}+1000.$

   这种抵消并不是碰巧——三项式里 $-ab$ 那一项的位置，就是为了让中间两列刚好抵消而设计的。

5. 5

   代数值抽查。 取 $x=1$：$(11)(1-10+100)=11\cdot 91=1001=1^3+1000$。取 $x=-10$：第一个因式为 $0$，而 $(-10)^3+1000$ 也是 $0$，这印证了 $x=-10$ 正是 $x^3+1000$ 的实根。